వేడి బదిలీ

ప్రొఫెసర్ సునందో దాస్ గుప్తా

డిపార్ట్ మెంట్ ఆఫ్ కెమికల్ ఇంజినీరింగ్

ఇండియన్ ఇన్ స్టిట్యూట్ ఆఫ్ టెక్నాలజీ, ఖరగ్ పూర్

ఉపన్యాసం - 26

వేడిమి మరియు మొమెంటం బదిలీ సాదృశ్యం

కాబట్టి, మేము వేగ సమీకరణం యొక్క కొలతలేని రూపం, శక్తి సమీకరణం యొక్క కొలతలేని రూపం, సరిహద్దు పరిస్థితులు మళ్లీ కొలతలేని రూపాల్లో చర్చించాము; ముఖ్యంగా ద్రవ ప్రవాహం, జారిపోని వేగం మరియు ప్లేట్ కు దూరంగా ఒక బిందువు వద్ద వేగం యొక్క పరిస్థితి ఏమిటి అనే దానిపై పరిస్థితి ఏమిటి, ఆ సమయంలో వేగం సరిహద్దు పొర వెలుపల స్థానిక స్వేచ్ఛా ప్రవాహ వేగానికి సమానంగా ఉంటుంది. అదేవిధంగా, సరిహద్దు పరిస్థితుల రూపం ఏమిటి?

ఉదాహరణకు, టి అంటే ఏమిటి^* ఏ ఆక్సియల్ లొకేషన్ వద్ద డైమెన్షనల్ లెస్ టెంపరేచర్; కానీ ప్లేట్ లోనే? ఏదో , అంటే, వై^* డైమెన్షన్ లేని ఉష్ణోగ్రత T ని మనం నిర్వచించిన విధానం వల్ల 0కి సమానంగా ఉంటుంది.^*. కాని ,

కాబట్టి, ప్లేట్ లో T T కు సమానం_ల; అందువల్ల, T^* 0కు సమానం అవుతుంది. ప్లేట్ కు దూరంగా ఉన్న ఒక బిందువు వద్ద, ద్రవం యొక్క ఉష్ణోగ్రత కేవలం Tకు సమానం అవుతుంది._∞ మరియు T యొక్క విలువ^* ఆ సందర్భంలో 1 కు సమానం అవుతుంది.

కాబట్టి, మేము రెండు ప్రక్రియల కోసం సమీకరణాలను పరిపాలించడానికి 2 సమీకరణాలను చూస్తున్నాము; ఒకటి వేడి బదిలీ కోసం మరియు మరొకటి మొమెంటం బదిలీ కోసం. ఈ 2 సమీకరణాల మధ్య తేడాను గుర్తించే ఈ 2 సమీకరణాలను వేరు చేసే పదాల కలయిక సారూప్య పరామితుల ఉనికి అని మేము చూశాము. ఒకటి మొమెంటం బదిలీ కేసు కోసం రేనాల్డ్స్ సంఖ్య మరియు రెండవది వేడి బదిలీ కేసు కోసం రేనాల్డ్స్ టైమ్స్ ప్రాంట్ల్ సంఖ్య.

కాబట్టి, హీట్ బదిలీ మరియు మొమెంటం బదిలీ మధ్య ఇవి మాత్రమే వ్యత్యాసం. కాబట్టి, మేము చేయాలనుకుంటున్నది ఏమిటంటే, మేము రేనాల్డ్స్ సంఖ్యను వేడి బదిలీకి అలాగే వేగ బదిలీకి ఒకేవిధంగా ఉంచగలిగితే మరియు ఒక ప్రాంట్ల్ సంఖ్యతో ఒక ఊహాత్మక ద్రవాన్ని 1 కు సమానంగా ఎంచుకోగలిగితే, అప్పుడు ఈ 2 బదిలీ సమీకరణాల యొక్క కొలతలేని రూపం ఒకేవిధంగా ఉంటుంది.

మరియు అదనంగా, ఒక చదునైన ప్లేట్ పై ప్రవాహం జరుగుతోందని మేము ఊహిస్తే, అప్పుడు పాలక సమీకరణం పాలక సమీకరణాల సరిహద్దు పరిస్థితులు కూడా ఒకేవిధంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, డైనమిక్ సారూప్యత యొక్క సందర్భం ఇది, డైనమిక్ సారూప్య వ్యవస్థ కోసం, మొమెంటం బదిలీ విషయంలో డిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క వ్యక్తీకరణ ను వారు మాకు చెబుతారు.^* T అని మరొక సమీకరణం యొక్క ఆధారిత వేరియబుల్ ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు^*.

అందువల్ల, ఒక సారూప్యత, ఒక సారూప్యత మరియు సమానత్వం మధ్య ఒక సారూప్యత మరియు సమానత్వాన్ని వ్యక్తీకరణలను పొందడానికి స్థాపించవచ్చు, మరొక ఆధారిత వేరియబుల్ యొక్క తెలిసిన వ్యక్తీకరణ నుండి ఒక ఆధారిత వేరియబుల్ యొక్క తెలిసిన వ్యక్తీకరణలు. కాబట్టి, ఈ తరగతి చివరిలో, అది ఎలా చేయబడుతుందో చాలా స్పష్టంగా ఉంటుందని చూడండి.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 03:54)

కాబట్టి, మునుపటి తరగతి యొక్క చివరి స్లైడ్ అయిన ఈ స్లైడ్ ను చూద్దాం, ఇక్కడ నేను పాలక సమీకరణాలు, సారూప్య పరామితులు, రేనాల్డ్స్ నంబర్ మరియు ప్రాంట్ల్ నంబర్ ను గుర్తించాను. ఇది వేగం కొరకు; ఇది శక్తి మరియు సరిహద్దు పరిస్థితులు ఎటువంటి స్లిప్ మరియు ఫ్లాట్ ప్లేట్ నుండి ఒక బిందువు దూరంలో, వేగ పరిస్థితి ఏమిటి, ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉష్ణోగ్రత = 0 మరియు ఉష్ణోగ్రత వద్ద వై = ∞.

కాబట్టి, ఈ జ్ఞానంతో మనం ప్రాండ్ల్ సంఖ్యను 1కు సమానంగా ఉంచడం ద్వారా మరియు రేనాల్డ్స్ సంఖ్యను ఒకేవిధంగా ఉంచడం ద్వారా మరియు ఒక చదునైన ప్లేట్ పై ప్రవాహం జరుగుతోందని భావించినప్పుడు; ఈ సమీకరణాలు మరియు సరిహద్దు పరిస్థితుల మధ్య ఈ సమీకరణంలోని ప్రతిదీ ఒకేవిధంగా ఉంటుంది, కాబట్టి మనకు ఒకే విధమైన వ్యవస్థ, డైనమిక్ గా ఒకే విధమైన వ్యవస్థ ఉంది.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 04:45)

కాబట్టి, నేను ఏమి చేయబోతున్నానో రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం మరియు సవరించిన రేనాల్డ్స్ సారూప్యత ఏమిటో కనుగొనండి. అందువల్ల, దాని కొరకు నేను మీ యొక్క ఫంక్షనల్ రూపం ఏమిటి అనే దానిని చూడబోతున్నాను.^*. దాని ఖచ్చితమైన రూపం ఏమిటో నాకు తెలియదు; కానీ నేను మీ యొక్క ఫంక్షనల్ రూపాన్ని రాయగలిగితే నాకు తెలుసు^*, ఇది స్వతంత్ర వేరియబుల్ ఎక్స్ ను కలిగి ఉండాలి^*, స్వతంత్ర వేరియబుల్ వై^*, సారూప్యత పరామీటర్ రేనాల్డ్స్ సంఖ్య మరియు సిస్టమ్ లో ఉండే ప్రజర్ గ్రేడియెంట్ .

ఏదో .

మీరు ఎక్స్, వై లేదా రేనాల్డ్స్ నెంబరుతో ఏవిధంగా కనెక్ట్ అవుతారో నాకు తెలియదు, అయితే ప్రవాహం కొరకు ఇలాంటి ఫంక్షనల్ ఫారం ఉంటుందని నాకు తెలుసు. ఇప్పుడు ఇంజనీరింగ్ ఆసక్తి పరంగా మేము ఉపరితలం వద్ద షియర్ ఒత్తిడి ఏమిటో కనుగొనాలనుకుంటున్నాము? అంటే, దీని వద్ద ఉపరితలం వద్ద, నేను వై వద్ద అర్థం^* ఉపరితలం వద్ద ఉన్న 0కి సమానంగా ఉండాలి.

కాబట్టి, దీనిని ఇలా పిలవమని నేను చెప్పనివ్వండి , షియర్ ఒత్తిడి

ఇది కేవలం ఉండబోతోంది నాన్ డైమెన్షనల్ తరువాత

కాబట్టి, అది నాకు షియర్ ఒత్తిడి మరియు షియర్ ఒత్తిడి గుణకానికి వ్యక్తీకరణను ఇస్తుంది, నిర్వచనం ద్వారా మేము దానిని అర్థం చేసుకున్నాము

అప్రోచ్ వెలాసిటీ, ρ అనేది సాంద్రత. కాబట్టి, అది సి యొక్క నిర్వచనం_ఎఫ్. యొక్క విలువను ఉంచడం ద్వారా డైమెన్షన్ లెస్ ఫారం పొందబడింది ఇక్కడ మరియు ఈ శోషించుకుంటుంది అందులో .

కాబట్టి, నేను రాస్తే ఏది, ఏమిటి అని తెలుసుకోవడానికి రాయండి .

కాబట్టి, మీరు క్రియాత్మక రూపం, మీ యొక్క ఊహాత్మక ఫంక్షనల్ రూపం అనే వ్యక్తీకరణను చూస్తే^*, నేను తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాను . ఎందుకంటే, నేను ఒక నిర్ధిష్ట విలువను కేటాయించాను.^* 0కు సమానంగా ఉండాలి; ఇది తప్పనిసరిగా ఒక . అప్పటి నుంచి, నేను వై యొక్క విలువను పేర్కొనాను.^* 0కు సమానంగా ఉండాలి. అందువల్ల, వై^*ఇక్కడ కనిపించదు.

ఇప్పుడు, ఇది ప్రవాహం; ఇది ఒక చదునైన ప్లేట్, దీని మీద ప్రవాహం జరుగుతోంది మరియు ఈ వైపు అల్లకల్లోలప్రవాహం ఉంది. ఇప్పుడు, ఒకవేళ జ్యామితి సిఫారసు చేయబడినట్లయితే, అప్పుడు మీరు పొందగలుగుతారు. వేరుగా. కాబట్టి, ఇది సిఫారసు చేయబడ్డ జ్యామితి కొరకు, నేను ఒక క్షణంలో దానిపై వివరిస్తాను. నేను ఇంతకు ముందు చెప్పినది సరిహద్దు పొర లోపల, ప్రవాహం జిగటగా ఉందని గుర్తుంచుకోండి; సరిహద్దు పొర వెలుపల, ప్రవాహం ఇన్విస్సిడ్ గా ఉంటుంది. కాబట్టి, ఇక్కడ జిగట ప్రభావం లేదు. సరిహద్దు పొర లోపల ఉండే స్నిగ్ధత ఫలితంగా మీకు స్నిగ్ధత ఉంటుంది కనుక, దూరం యొక్క విధిగా పీడన ం తగ్గడం కొరకు అక్కడ ఉన్న వాటిని ఇవ్వడానికి లభ్యం అయ్యే తెలిసిన సమీకరణాలను మీరు ఉపయోగించలేరు.

ఇప్పుడు, ప్రవాహంలో పీడన ం పడిపోవడానికి దోహదపడే సమీకరణం ఏమిటి అని ఎవరైనా మీకు చెబితే? మీ మనస్సుకు వచ్చే పేరు బెర్నౌలీ యొక్క సమీకరణం ఎందుకంటే బెర్నౌలీ యొక్క సమీకరణం పీడన తల, వేగ తల మరియు గురుత్వాకర్షణ తల యొక్క పీడన గ్రేడియెంట్ ను కలిగి ఉంటుంది. ఇప్పుడు, నేను ప్లేట్ హారిజాంటల్ గా భావించినట్లయితే, ఈ సందర్భంలో ఇది జరుగుతుంది. అందువల్ల, ఇది పీడన తల మరియు వేగ తల యొక్క సంక్షిప్తీకరణ స్థిరంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, నాకు ఈ వేగం తెలిస్తే లేదా వేగ తలలో మార్పు పరంగా ఒత్తిడిలో మార్పును నేను వ్యక్తీకరించగలిగితే, బెర్నౌలీ సమీకరణం గురించి. ఇప్పుడు, ఒక క్యాచ్ ఉంది; స్నిగ్ధత యొక్క ప్రభావం లేని ప్రవాహం కొరకు ఇన్విస్సిడ్ ప్రవాహానికి బెర్నౌలీ సమీకరణం ఖచ్చితంగా చెల్లుబాటు అవుతుంది.

కాబట్టి, సరిహద్దు పొర లోపల, సాంకేతికంగా నేను బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించలేను ఎందుకంటే అక్కడ ప్రవాహం జిగటగా ఉంది. కాబట్టి, ఈ పరిష్కారం; కానీ పరిశీలన సరిహద్దు పొరకు వెలుపల ఉంది ప్రవాహం ఇన్విస్సిడ్. కాబట్టి, జ్యామితి నాకు తెలిసినట్లయితే, అప్పుడు నేను ఒక వ్యక్తీకరణను పొందడానికి సరిహద్దు పొర వెలుపల ప్రవాహ డొమైన్ లో బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించగలను లేదా ప్రతిదానినుండి స్వతంత్రంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, ఎవరైనా నాకు జ్యామితి ఇస్తే నేను పొందగలగాలి, ఏమిటి సరిహద్దు పొర వెలుపల బెర్నౌలీ సమీకరణం యొక్క సమీకరణం యొక్క ఉపయోగం ద్వారా మరియు సరిహద్దు పొర యొక్క మందం చాలా తక్కువగా ఉంటుంది కనుక, వై తో ఒత్తిడిలో ఎలాంటి మార్పు ఉండదు. ఇది సరిహద్దు పొర యొక్క చిన్న మందాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని చెల్లుబాటు అయ్యే ఊహ. కాబట్టి, నేను బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి ఏమి తెలుసుకోవడానికి . ఏదో మరియు సిఫారసు చేయబడ్డ జ్యామితి కొరకు పొందవచ్చు. స్థిరాంకం; ఆ కారణ౦గా ఈ భావవ్యక్తీకరణ ను౦డి ఇది మరోవిధంగా కలిగి ఉంది , నేను దానిని డ్రాప్ చేయగలను. ఇవ్వబడ్డ జ్యామితి కొరకు ఈ ప్రజర్ గ్రేడియెంట్ నాకు అప్రియరీ గా తెలుసు మరియు ఇది స్థిరమైనది.

కాబట్టి, సమీకరణం యొక్క ఫంక్షనల్ రూపం పరంగా నేను ఇక్కడ రాసినదాన్ని మరోసారి ఇలా వ్రాయవచ్చు

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 13:01)

ఇప్పుడు, ఇప్పుడు ఉపయోగిస్తే

=

ఇక్కడే నేను సి కొరకు ఎక్స్ ప్రెషన్ పొందాను_ఎఫ్. కాబట్టి, నా సి_ఎఫ్ కేవలం గొన్న ఉంటాయి

కాబట్టి, ఈ రెండు సమీకరణాలను పరిశీలించాల్సిన అవసరం ఉంది. మొదటగా, యు అనేది అన్ని స్వతంత్ర వేరియబుల్స్, ఆపరేషనల్ పరామీటర్ మరియు ప్రజర్ గ్రేడియెంట్ యొక్క విధి. అక్కడి నుండి నేను షియర్ ఒత్తిడిని పొందాను; షియర్ ఒత్తిడి నుంచి, నేను సి పొందాను_ఎఫ్ మరియు కోసం , జ్యామితి నాకు తెలిసినప్పుడు నేను ఈ ప్రత్యేక కేసు కోసం ఫంక్షనల్ ఫారాన్ని పొందాను. కాబట్టి, ఇది నాకు సి యొక్క వ్యక్తీకరణను ఇవ్వాలి_ఎఫ్ ఒక సరిహద్దు పొర లోపల ప్రవాహ వేగ రవాణా కోసం. ఇప్పుడు, టెంపరేచర్ ప్రొఫైల్ కు ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం? కాబట్టి, మేము పొందిన ఇక్కడ వ్యక్తీకరణలో ఉష్ణోగ్రతను నేను చూస్తే.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 14:56)

నా టెంపరేచర్ ప్రొఫైల్ T^* మీ యొక్క విధి^*, క్ష^*, వి^*, వై^*, రేనాల్డ్స్ నంబర్ మరియు ప్రాండ్ల్ నంబర్; కానీ ఈ యు^*మరియు వి^*ఇప్పటికే ఒక ఫంక్షన్ ఇప్పటికే తెలిసిన విధి^* మరియు వై^*మొదలైన ఉదాహరణకు, ఈ వ్యక్తీకరణలోనే మనం చూసినది ఆ యు^*అనేది ఒక విధి; మీరు ఎక్స్,వై, రేనాల్డ్స్ మరియు డిపి/డిఎక్స్, యు^*పేర్కొనబడింది.

కాబట్టి, ఇక్కడ పాలక సమీకరణంలో మీరు టి రాయాల్సిన అవసరం లేదు^* మీ యొక్క విధి^* ఎందుకంటే మీరు T రాసిన క్షణం^*అనేది ఒక విధి^*, వై^*మరియు రేనాల్డ్స్ నెంబరు, మీరు తప్పనిసరిగా యు ని పేర్కొనండి^*. అందువల్ల, యు ని చేర్చడం ద్వారా^*మీ ఫంక్షనల్ రూపంలో మరోసారి అది కేవలం పునరావృతం అవుతుంది.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 16:16)

కాబట్టి, ఈ పాలక సమీకరణం యొక్క జ్ఞానం ఆధారంగా, క్రియాత్మక రూపాన్ని వ్రాయగలగాలి

ఇది నేను దానిని పూర్తి చేయడానికి ఉంచుతున్నాను.

కానీ సిఫారసు చేయబడ్డ జ్యామితి కొరకు, నేను దీనిని డ్రాప్ చేయగలనని మేం అర్థం చేసుకున్నాం. . కాబట్టి, షియర్ ఒత్తిడి కేసు కోసం నేను చేసిన విధంగానే. ఉపరితల ఉష్ణ ం ఫ్లక్స్ విషయంలో నేను అదే విషయాన్ని రాయబోతున్నాను, దీనిని నేను క్యూ అని పిలుస్తాను._ల. కాబట్టి, ఇది ఒక ఘన ప్లేట్, మీకు ప్రొఫైల్ ఉంది మరియు ప్రవాహం జరుగుతోంది; నేను వై వద్ద ఉపరితల వేడి ఫ్లక్స్ ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాను^* 0కు సమానం. కాబట్టి, ఉపరితల ఉష్ణ ం ఫ్లక్స్

ద్రవం యొక్క ఉష్ణ వాహకత్వం కె ఉన్న చోట.

కాబట్టి, అది ఫోరియర్ చట్టానికి సమానం.

ఇది ఫోరియర్ యొక్క చట్టం, దీనిలో ఇలా వ్యక్తీకరించవచ్చు

ఎందుకంటే నా క్యూ_లఈ బిందువు వద్ద వాహకత్వం మరియు సంవాహక సమానత్వం, ఏ స్లిప్ కారణంగా ద్రవ అణువులు ఘనానికి అతుక్కుపోయిన బిందువు వద్ద.

కాబట్టి, కదలని ద్రవ అణువుల నుండి మొబైల్ ద్రవ అణువులకు వేడి బదిలీ, అక్కడ మీరు వాహక మరియు సంభాషణ సమానత్వాన్ని కలిగి ఉంటారు. కాబట్టి, ఈ క్యూ_ల ఫోరియర్ చట్టం పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు; ఈ క్యూలు న్యూటన్ నియమం పరంగా కూడా వ్యక్తీకరించవచ్చు, ఇది హెచ్ టైమ్స్ . కాబట్టి, హెచ్ టైమ్స్ ఈ రెండు కూడా సమానమే. కాబట్టి, ఈ రెండు కూడా ఏకకాలంలో 0 కి సమానంగా చెల్లుబాటు అవుతాయి. అందువల్ల, ఈ పద్ధతిలో హెచ్ కోసం వ్యక్తీకరణను పొందవచ్చు.

కాబట్టి, మీరు దానిని కొలతలేని రూపంలో వ్యక్తీకరించినప్పుడు ఇది అవుతుంది

కాబట్టి, ఇది నేను నెమ్మదిగా ఇక్కడ వ్యక్తీకరణ యొక్క కొలతలేని రూపం వైపు కదులుతున్నాను.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 19:23)

కాబట్టి, మీరు దానిని రద్దు చేసినప్పుడు, మీరు పొందే సంఖ్య మరియు హారాన్ని రద్దు చేసినప్పుడు

లేదా

అందువల్ల, హెచ్ ఎల్/కె అంటే ఏమిటి, ఇది నుసెల్ట్ నెంబరు తప్ప మరేమీ కాదు. కాబట్టి, మేము దానిని సంభాషణలో ఉన్నాము, మేము ఎల్లప్పుడూ హెచ్ అంటే ఏమిటో లేదా నుసెల్ట్ సంఖ్య కు వ్యక్తీకరణ ఏమిటో కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తాము? కాబట్టి, ఇప్పుడు, నేను ఒక నుస్సెల్ట్ నంబర్ ను ఎఫ్ కోసం ఉపయోగిస్తాను₁ ఎఫ్₂ మరియు ఎఫ్₃ ఇక్కడ. కాబట్టి, నుసెల్ట్ సంఖ్య

.

ఏదో

నేను చెప్పినప్పుడు , ఆ విధి యొక్క విధి గా ఉండాలి జ్యామితి మనకు తెలిసినప్పుడు.

అందువల్ల, ఈ నుసెల్ట్ నెంబరు ఎక్స్ ప్రెషన్ కొంత ఫంక్షన్ ఎఫ్ గా ఉంటుంది.₄; ఈ ఎఫ్ ఏమిటో నాకు తెలియదు₄ అది? కానీ, కొన్ని విధి ల క్ష్^*, రేనాల్డ్స్ నంబర్ మరియు ప్రాండ్ల్ నంబర్. కాబట్టి, ఇది స్పష్టంగా, ఒక సిఫారసు జ్యామితి కోసం మరియు మీరు నుస్సెల్ట్ సంఖ్య యొక్క సగటు విలువ, నుస్సెల్ట్ సంఖ్య యొక్క పొడవు సగటు విలువ ఏమిటో కనుగొనాలనుకుంటే; మీరు అలా చేసిన క్షణం, నుస్సెల్ట్ సంఖ్య యొక్క పొడవు సగటు విలువ; అప్పుడు, ఎక్స్^* ఇది మరొక విధి గా ఉండాలి అని స్పష్టంగా వదిలివేయబడింది .

కాబట్టి, ఇది నుసెల్ట్ సంఖ్య యొక్క స్థానిక విలువ, ఇది ఇది నుస్సెల్ట్ సంఖ్య యొక్క స్థానిక విలువ మరియు ఇది నుస్సెల్ట్ సంఖ్య యొక్క సగటు విలువ మరియు ను పై బార్ ఇది సగటు విలువను సూచిస్తుంది మరియు పొడవు సగటు విలువకోసం, ఇది కేవలం రేనాల్డ్స్ సంఖ్య మరియు ప్రాండ్ల్ సంఖ్య యొక్క విధి.

ఇప్పుడు మనం రేనాల్డ్స్ పరిస్థితిని ఉపయోగించినప్పుడు, రేనాల్డ్స్ సారూప్యత; నేను ఏమి చూస్తున్నాను, డిపి/డిఎక్స్ 0 మరియు ప్రాండ్ల్ సంఖ్య 1కు సమానం మరియు ఒకవేళ అదే నిజమైతే, అప్పుడు మీ వ్యక్తీకరణ^* మరియు T^* నక్షత్రం ఒకేవిధంగా ఉండాలి. మేము ఇప్పటివరకు చర్చించినది ఇదే. కాబట్టి, మీ వ్యక్తీకరణలు^* మరియు T^* ఒకేవిధంగా ఉండాలి. అందువల్ల, T యొక్క వ్యక్తీకరణ ఏమిటి?^*మరియు మీరు^*? కాబట్టి, యు^*అనేది ఎఫ్₁ మరియు T^*అనేది ఎఫ్₃. కాబట్టి, ఒకవేళ మీ ప్రాండ్ల్ నెంబరు 1కు సమానం అయితే. కాబట్టి, సమీకరణం డైనమిక్ గా ఒకేవిధంగా మారుతుంది; డిపి/డిఎక్స్ అనేది డిపి/డిఎక్స్ ఆధారపడటం లేదు.

అందువల్ల, ఎఫ్₁ తప్పనిసరిగా ఒక ఎఫ్₁ ఎఫ్ కు సమానంగా ఉండాలి₁ మరియు ఎఫ్₃; ఎఫ్₁ మరియు ఎఫ్₃ ఒకే విధంగా ఉంటాయి సరే. కాబట్టి, ఎఫ్₁ మరియు ఎఫ్₃ ఒకేవిధంగా ఉంటాయి. ఘర్షణ గుణకం యొక్క వ్యక్తీకరణ ఈ ఎఫ్ అనేది కూడా నిజం.₂ కూడా ఎఫ్ కు సమానంగా ఉండాలి₄ ఈ కేసుకు సంబంధం ఏమిటి? కాబట్టి, మీ కోసం వ్యక్తీకరణ^* మరియు T^* ఒకేవిధంగా ఉండాలి, అది మీకు ఆ ఎఫ్ ఇస్తుంది₁ ఎఫ్ కు సమానం₃.

మరియు ఘర్షణ గుణకం మరియు నుస్సెల్ట్ సంఖ్యకు కూడా నిజం; కనుక, ఘర్షణ గుణకం మరియు నుస్సెల్ట్ నెంబరుకు ఇది నిజమైతే, మీరు పొందేది ఎఫ్₂ ఎఫ్ కు సమానం₄. కాబట్టి, వీటిని సమిష్టిగా రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం అని పిలుస్తారు. ఇక్కడ ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనంలో మీరు ఎదుర్కొనే ప్రధాన సమస్య ఏమిటంటే, ప్రాండ్ల్ సంఖ్య 1కు సమానంగా ఉండాలి.

ప్రాంట్ల్ నెంబరు 1కు సమానమైన ద్రవం ఎక్కడ పొందబోతోంది మరియు ఒకవేళ అది 1కు సమానం అయితే, ఇతర కేసులకు ఈ సారూప్యతను మీరు ఏవిధంగా ఉపయోగించబోతున్నారు? కాబట్టి, ఒకవేళ ఎఫ్₂ ఎఫ్ కు సమానం₄; అది మనకు ఎలా సహాయ౦ చేస్తుంది? ఎఫ్₄ ఇది, ఎఫ్₄ మరియు ఎఫ్₂ ఈ 2 ఒకేవిధంగా ఉంటే; ఒకవేళ ఎఫ్₂ మరియు ఎఫ్₄ ఒకేవిధంగా ఉంటాయి, ఈ సందర్భంలో మనం వాటిని ఎలా ఉపయోగించవచ్చో చూపించడానికి నేను ఈ 2 సమీకరణాలను మరోసారి రాస్తాను.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 25:21)

ఏదో

నుసెల్ట్ సంఖ్య కేవలం దీనికి సమానం .

కాబట్టి, ఒకవేళ ఎఫ్₂ మరియు ఎఫ్₄ సమానము, అప్పుడు మనం చెప్పగలిగేది ఏమిటంటే .

కాబట్టి, దీనిని రేనాల్డ్స్ అనలాజి అని పిలుస్తారు. ఇది కొంతవరకు కొన్ని సందర్భాలలో, ఇది కొంచెం భిన్నమైన రీతిలో సవరించబడుతుంది; ఎక్కడ రాసి ఉందో అక్కడ

మరియు ప్రాండ్ల్ సంఖ్య యొక్క విలువ 1కు సమానం కనుక, ఈ సందర్భంలో ప్రాండ్ల్ నెంబరుజోడించడంలో ఎలాంటి హాని ఉండదు. రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యంలోని ప్రాండ్ల్ సంఖ్య 1కు సమానం కనుక నేను అలా చేయగలను. కాబట్టి, రేనాల్డ్స్ ద్వారా ప్రాండ్ల్ లోకి ఈ నుస్సెల్ట్ కు స్టాంటన్ నంబర్ అని పిలువబడే ఒక ప్రత్యేక పేరు ఉంది. కాబట్టి, నేను స్టాంటన్ నంబర్ ను ఉపయోగించగలను, ఎందుకంటే, ప్రాండ్ల్ సంఖ్య యొక్క విలువ 1కు సమానం.

కాబట్టి, రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం యొక్క మరింత సాధారణ రూపం

ఇది రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం యొక్క సాధారణంగా ఉపయోగించే రూపం. అందువల్ల, ఇది సి యొక్క కీలక ఇంజినీరింగ్ పరామీటర్ ని కనెక్ట్ చేస్తుంది._ఎఫ్ ద్రవ ఘర్షణలో నుస్సెల్ట్ నెంబరుపై సంశ్లేషిత ఉష్ణ బదిలీలో ఉంటుంది. అందువల్ల, నేను నుసెల్ట్ నెంబరుకు సమానమని చూపిస్తున్న మునుపటి స్లైడ్ గురించి కూడా మీ దృష్టిని ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను. .

నుస్సెల్ట్ సంఖ్య యొక్క ప్రాముఖ్యత ఘన ద్రవ ఇంటర్ ఫేస్ వద్ద కొలతలేని ఉష్ణోగ్రత గ్రేడియెంట్ తప్ప మరేమీ కాదని ఇది నా ప్రకటనను మళ్లీ బలపరుస్తుంది.

కాబట్టి, అది నుస్సెల్ట్ సంఖ్య యొక్క నిర్వచనం. ఒక ముఖ్యమైన సంఖ్య నుస్సెల్ట్ లో హెచ్; ఇది ఒక ఇంజనీరింగ్ పరామీటర్ మరియు ఇక్కడ నేను నుస్సెల్ట్ నెంబరును సితో కనెక్ట్ చేయాలి._ఎఫ్ ఘర్షణ గుణకం, ఇది ఇంజనీరింగ్ పరామీటర్ కూడా. కాబట్టి, ఈ సారూప్యతను ఉపయోగించడం ద్వారా, నేను వేడి బదిలీని మొమెంటం బదిలీతో కనెక్ట్ అవుతాను; కానీ నేను అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, ప్రాండ్ల్ నెంబరు 1కు సమానంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే కేసుకు చెల్లుబాటు అయ్యే సమస్య ఉంది. కాబట్టి, రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం యొక్క చెల్లుబాటును రెండు పరిస్థితులను పొడిగించడానికి; ప్రండ్ల్ నెంబరు 1కు సమానం కాకపోవచ్చు 2 ద్రవాలు; ఈ సారూప్యతకు ఒక దిద్దుబాటు కారకం జోడించబడుతుంది మరియు తరువాత, దీనిని సవరించిన రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం అని పిలుస్తారు.

(స్లైడ్ టైమ్ రిఫర్ చేయండి: 30:15)

మరియు రేనాల్డ్స్ సారూప్యతను విస్తరించడానికి చిల్టన్ కౌల్బర్న్ అనలాజి అని కూడా పిలుస్తారు. దీనికి ఒక దిద్దుబాటు కారకం జోడించబడింది . అందువల్ల, ఇది జోడించబడ్డ దిద్దుబాటు కారకం

ఇది ప్రాండ్ల్ నెంబరును ప్రాండ్ల్ నెంబరు యొక్క పెద్ద శ్రేణికి పొడిగిస్తుంది. కాబట్టి, అప్పుడు మీరు పొందేది ఏమిటంటే

ఈ మొత్తం విషయం () దీనిని కౌల్బర్న్ "జె" కారకం అని అంటారు.

కాబట్టి, ఇది సవరించిన రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం లేదా చిల్టన్ కౌల్బర్న్ సాదృశ్యం యొక్క వ్యక్తీకరణ మరియు దీని యొక్క చెల్లుబాటు చాలా నిజమైన వ్యవస్థలలో నిజమైన ద్రవాలలో విస్తరించబడింది, అవి ఈ పరిధిలో ప్రాండ్ల్ సంఖ్యను కలిగి ఉన్నాయి; 60 కంటే ఎక్కువ మరియు ఇతర తీవ్రత కలిగిన భారీ నూనెలు మినహా ద్రవ లోహాలు 0.6 కంటే తక్కువ ప్రాండ్ల్ సంఖ్య. కాబట్టి, ద్రవ లోహాలు మరియు భారీ నూనెల కోసం, మేము ఈ 2 ప్రత్యేక రకం ద్రవాలను మినహాయించినట్లయితే, మీరు సాధారణంగా ఉపయోగించే ద్రవాలలో చాలా వరకు, సాధారణంగా ఈ పరిధిలో ఉంటాయి. అందువల్ల, చిల్టన్ కౌల్బర్న్ సాదృశ్యం ప్రాంట్ల్ సంఖ్య యొక్క విస్తృత శ్రేణికి విస్తరించింది.

ప్రయోజనం, ప్రయోజనం ఏమిటి? నేను పేర్కొన్నవిధంగా ప్రయోజనం సి_ఎఫ్ వ్యక్తీకరణ ఇప్పటికే మనకు తెలుసు ; ఇక్కడ ఉంచండి మరియు మీకు లభించేది నుసెల్ట్ నెంబరు కొరకు ఒక వ్యక్తీకరణ

ప్రాండ్ల్ నెంబరు 0.6 మరియు 60 మధ్య వాలిడిటీ యొక్క పరిధి దాని అందాన్ని చూడండి. ఇది నిజంగా ఆసక్తికరమైన విషయం. మీరు నుస్సెల్ట్ నెంబరు కొరకు ఒక వ్యక్తీకరణను పొందారు, దృఢమైన పునాది ఉన్న సారూప్యతను ఉపయోగించడం ద్వారా మీరు హెచ్ కొరకు ఒక వ్యక్తీకరణను పొందారు. కాబట్టి, మీరు సి యొక్క వ్యక్తీకరణ_ఎఫ్ మీకు తెలుసు; మీరు పరిపాలక సమీకరణాలను చూస్తున్నారు, పాలక సమీకరణాలను పరిమాణీకరించడం లేదు; ఈ అభ్యాసం నుంచి స్పష్టంగా పొందిన సారూప్యత పరామితులు.

మీరు కొలతలేని సరిహద్దు పరిస్థితులను చూస్తారు; ఈ 2 పాలక సమీకరణాలు ఏ స్థితిలో డైనమిక్ గా ఒకేవిధంగా మారాలో చూడండి. అవి డైనమిక్ గా ఒకేవిధంగా మారిన క్షణం, ఒకదాని యొక్క పరిష్కారాన్ని మరొకదాని పరిష్కారంగా ఉపయోగించవచ్చు. ఏదో

దీనిని సి ఎఫ్ తో అనుసంధానం చేయడం ద్వారా ప్రత్యామ్నాయంగా చేయవచ్చు ఇది నుస్సెల్ట్ నెంబరుతో కనెక్ట్ చేయబడింది.

కాబట్టి, వేగం యొక్క గ్రేడియెంట్ లేదా ఉష్ణోగ్రత యొక్క గ్రేడియెంట్, ఇవన్నీ కొలతలేని రూపంలో; సి కి సంబంధించిన ది_ఎఫ్, మరొకటి నుస్సెల్ట్ సంఖ్యకు సంబంధించినది. వాటితో వేగం డైనమిక్ గా ఒకేవిధంగా ఉంటుంది, ఈ 2 గ్రేడియెంట్ లు ఒకేవిధంగా ఉంటాయి మరియు అప్పుడు మీకు ఉన్నది సి కొరకు ఒక వ్యక్తీకరణ_ఎఫ్ మరియు నుస్సెల్ట్ నంబర్ కోసం ఒక వ్యక్తీకరణ. సి కొరకు వ్యక్తీకరణ_ఎఫ్ అనేది మీకు ఇప్పటికే తెలుసు. అందువల్ల, అల్లకల్లోలప్రవాహంలో నుస్సెల్ట్ సంఖ్య కోసం మీరు ఒక వ్యక్తీకరణను పొందుతారు.

కాబట్టి, ఎడ్డీ ఫార్మేషన్, వెలాసిటీ డిస్ట్రిబ్యూషన్, తెలియని వేగ పంపిణీ, ఉష్ణోగ్రత మరియు వేగంలో హెచ్చుతగ్గుల యొక్క సంక్లిష్టమైన గణాంక విశ్లేషణలోకి ప్రవేశించకుండా; మీరు ఇప్పుడు ఒక సాదృశ్యం మరియు ప్రాండల్ నంబర్ దిద్దుబాట్లను చేర్చడం ద్వారా పొడిగించబడిన సారూప్యతను ఉపయోగించడం ద్వారా ఒక సాధనాన్ని కలిగి ఉన్నారు, మీరు ఇప్పుడు అల్లకల్లోల ప్రవాహంలో సంభాషిత వేడిబదిలీ గుణకం కోసం వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉన్నారు. ఈ విశ్లేషణ యొక్క అందం లేదా ఈ సారూప్యత.

కాబట్టి, రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం లేదా సవరించిన రేనాల్డ్స్ సాదృశ్యం, దీనిని చిల్టన్ కౌల్బర్న్ సాదృశ్యం అని కూడా పిలుస్తారు, ఇది అత్యంత అల్లకల్లోలమైన ప్రవాహంలో హెచ్ కోసం వ్యక్తీకరణను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి, ఇప్పుడు, వేడి బదిలీలో నాకు పూర్తి చిత్రం ఉంది; బాహ్య ఉష్ణ బదిలీ, బాహ్య ప్రవాహంలో వేడి బదిలీని ప్రవహించండి, ఒక ఫ్లాట్ ప్లేట్ పై ప్రవహించే అతి సరళమైన ఉదాహరణ. రేనాల్డ్స్ నెంబరు 5 ×10 విలువ వరకు ప్రవాహం లామినార్ గా ఉన్న ప్రారంభ భాగంలో నాకు ఒక వ్యక్తీకరణ ఉంది.⁵. మరియు సారూప్యతను ఉపయోగించడం ద్వారా, రేనాల్డ్స్ నంబర్ 5 ×10 దాటి నస్సెల్ట్ సంఖ్య కోసం నాకు ఒక వ్యక్తీకరణ ఉంది⁵; అంటే, ప్రవాహం అల్లకల్లోలంగా ఉన్నప్పుడు.

కాబట్టి, వారు కలిసి లామినార్ ప్రవాహంలో వేడి బదిలీ గుణకం ఏమిటి మరియు అల్లకల్లోల ప్రవాహంలో వేడి బదిలీ గుణకం ఏమిటి? మరీ ముఖ్యంగా, ఇది తదుపరి తరగతికి ఒక అనుబంధాన్ని మీకు చూపిస్తుంది, ప్రవాహం ఎప్పుడూ పూర్తిగా అల్లకల్లోలంగా ఉండదు మరియు ప్రవాహం లామినార్ నుండి అల్లకల్లోలంగా మారవచ్చు. కాబట్టి, చాలా సందర్భాల్లో, ఏదైనా ప్రవాహం ప్రారంభించడానికి లామినార్ భాగాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు తరువాత, అది అల్లకల్లోలంగా మారుతుంది.

కాబట్టి, ఆ రకమైన ప్రవాహాలు సాధారణంగా ఎదుర్కోబడతాయి, వాటిని మిశ్రమ ప్రవాహం అని పిలుస్తారు. దాని లామినార్ యొక్క ప్రారంభ భాగం తరువాత భాగం అల్లకల్లోలంగా మారుతుంది. కాబట్టి, మిశ్రమ ప్రవాహం విషయంలో సగటు వేడి బదిలీ గుణకాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి ఈ సంబంధాలను ఎలా సవరించవచ్చు. కానీ అది కొత్త భావనలు లేవు మరియు అక్కడ ఇమిడి ఉంది. ముఖ్యమైనది ఏమిటంటే, రేనాల్డ్స్ సంఖ్య యొక్క విధిగా మరియు ప్రాండ్ల్ నెంబరు యొక్క విధిగా అల్లకల్లోలంగా ప్రవహించే కేసుకు మీకు నుస్సెల్ట్ నెంబరును ఇచ్చే ఈ సమీకరణం పై నేను మీ దృష్టిని తీసుకువస్తాను.

మొదటి నుండి ప్రవాహం అల్లకల్లోలంగా ఉన్నప్పుడు నేను మీకు చెబుతున్నట్లుగా నేను పేర్కొనాలి. కాబట్టి, ప్రవాహం మొదటి నుండి అల్లకల్లోలంగా ఉన్నప్పుడు. ఈ వ్యక్తీకరణను హెచ్ మరియు మొదలైన విలువను పొందడానికి ఉపయోగించవచ్చు. కానీ చాలా సందర్భాల్లో ప్రవాహం ప్రారంభించడానికి లామినార్ మరియు తరువాత అది అల్లకల్లోలంగా మారుతుంది ఆ రకమైన ప్రవాహాలను మిశ్రమ ప్రవాహం అని అంటారు.

కాబట్టి, లామినార్ ప్రవాహంలో నుస్సెల్ట్ సంఖ్య యొక్క వ్యక్తీకరణ మరియు తదుపరి తరగతిలో అల్లకల్లోల ప్రవాహం ఆధారంగా మిశ్రమ ప్రవాహం కోసం వ్యక్తీకరణలను నేను మీకు ఇస్తాను. అయితే, లామినార్ ప్రవాహం విషయంలో నేను మరోసారి నుస్సెల్ట్ నెంబరు రాస్తాను, వాటిని పోల్చడం కొరకు ఇక్కడ

కాబట్టి, ఇది లామినార్ ప్రవాహం కోసం మరియు ఇది అల్లకల్లోలప్రవాహం కోసం. కాబట్టి, మీరు దీనిని మరియు దీనిని కలిపి నట్లయితే, నాకు లభించేది మిశ్రమ ప్రవాహం. కానీ ఇది దాదాపు పూర్తిగా విశ్లేషణాత్మకంగా పొందబడుతుంది, దీనిలో కొంత ఉజ్జాయింపు నిర్మించబడింది; కానీ ఇది మనకు సాదృశ్యం ఏమిటంటే, వేడి బదిలీ బదిలీ నుండి వేడి బదిలీ డేటాను మార్చడానికి మాకు ఒక శక్తివంతమైన సాధనాన్ని ఇస్తుంది, వేడి బదిలీ కోసం ఒక వ్యక్తీకరణను పొందండి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా.

కాబట్టి, భావనలను స్పష్టం చేయడానికి మరియు సమస్యా పరిష్కారంలో ఈ సారూప్యతను ఎలా సమర్థవంతంగా ఉపయోగించవచ్చో మీకు చూపించడానికి ఇక్కడ కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరిస్తుంది.